Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x2

，若直線y=2x+m與函數(shù)圖象始終相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

[-2，

5

]

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)的圖象表示一個(gè)半圓，直線y=2x+m與函數(shù)圖象始終相切時(shí)，由1=

|0-0+m|

5

求得 m的值．當(dāng)直線y=2x+m過點(diǎn)A（1，0）時(shí)，求得m的值，數(shù)形結(jié)合可得
實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由函數(shù)y=f(x)=

1-x2

，可得 x²+y²=1 （y≥0），表示一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心，半徑等于1的位于x軸及x軸上方的半圓，如圖所示：
由于直線y=2x+m與函數(shù)圖象始終相切，由1=

|0-0+m|

5

 求得 m=

5

，或 m=-

5

（舍去）．
當(dāng)直線y=2x+m過點(diǎn)A（1，0）時(shí)，有0=2+m，m=-2．
數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，

5

]，
故答案為[-2，

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．