Question

設a，b∈[0，1]，則S(a，b)=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)的最小值為（　　）

• A、

  12-5 3

  2

• B、

  12-5 5

  2

• C、

  13-5 5

  2

• D、1

Answer 1

分析：通過構造函數f(x)=

x2(1-x)

1+x

，利用導數的方法求函數的最值，從而求出S的最小值．

解答：解：因為S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)=

1+a+b+a2b2

(1+a)(1+b)

=1-

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

≤1，
當ab=0或ab=1時等號成立，
所以S的最大值為1．
令T=

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

，x=

ab

，
則T=

ab(1-ab)

1+a+b+ab

≤

ab(1-ab)

1+2 ab +ab

=

x2(1-x2)

(1+x)2

=

x2(1-x)

1+x

．
設f(x)=

x2(1-x)

1+x

，
∴f′(x)=

2x(1-x-x2)

(1+x)2

，
∴f′(x)=

2x(1-x-x2)

(1+x)2

=0，
則x=0，x=

5 -1

2

，x=-

5 +1

2

∴f（x）在(0，

5 -1

2

)上是增函數，在(

5 -1

2

，+∞)上是減函數，
x=a=b=

5 -1

2

時，
所以f（x）有最大值

5 5 -11

2

，S的最小值為

13-5 5

2

，
故選C．

點評：本題通過換元，構建函數，利用導數法求函數的最值，應注意這種思想方法在解題中的應用