Question

已知向量

a

=(

3

， sin(x-

π

12

))，

b

=(sin(2x-

π

6

) ， 2sin(x-

π

12

))，

c

=(-

π

4

， 0)．定義函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）將函數f（x）的圖象沿

c

方向移動后，再將其各點橫坐標變為原來的2倍得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調遞減區間及g（x）取得最大值時所有x的集合．

Answer 1

分析：（1）將坐標代入數量積坐標表示，利用三角恒等變換公式化簡得解析式f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）由題設知f（x）的圖象左平移

π

4

個單位，再將其各點橫坐標變為原來的2倍得到y=g（x）的圖象，故g(x)=2sin(x+

π

6

)+1，再由正弦類函數的性質求單調減區間與函數取到最大值自變量的集合即可．

解答：解：（1）

a

•

b

=( 

3

，sin(x-

π

12

))•(sin(2x-

π

6

)，2sin(x-

π

12

))
=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)
=

3

sin(2x-

π

6

)+1-cos(2x-

π

6

)
=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）將f（x）的圖象沿

c

方向移動，即向左平移

π

4

個單位，
其表達式為y=2sin[2(x+

π

4

)-

π

3

]+1，即y=2sin(2x+

π

6

)+1，
再將各點橫坐標伸長為原來的2倍，得y=2sin(2×

x

2

+

π

6

)+1，
即g(x)=2sin(x+

π

6

)+1．
其單調遞減區間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z
當x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z時，g(x)的最大值為3，
此時x的集合為{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}．

點評：本題考點函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，綜合考查了函數的圖象變換與三角函數的性質，綜合性較強，難度較高，題后應好好體會一下此題的做題過程與思維脈絡．