Question

【題目】已知函數在點處的切線與直線平行.

（1）求的值；

（2）若函數在區間上不單調，求實數的取值范圍；

（3）求證：對任意，時，恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)對函數求導,由求出a值;(2) 由（Ⅰ）得,根據導函數大于0和小于0可求出函數的單調區間,進而得出函數的極值, 函數在區間上不單調，即極值點在區間內,解出m范圍即可;(3)對不等式化簡,分離參數b和變量x,可得時，原不等式等價于恒成立，構造,求導判斷單調性求出最值,即可證得命題成立.

試題解析:

（Ⅰ）解：因為，所以，根據題意，，

所以，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，定義域為，

當時，，在上為增函數，

當時，，在上為減函數，

所以函數在處取得極值，又函數在區間上不單調，

所以，所以．

（Ⅲ）證明：當時，，

所以時，原不等式等價于恒成立，

令，則，

令，則在上恒成立，

所以在上是增函數，，所以，

所以在上是增函數，所以，即原不等式恒成立．