Question

如圖，已知M(-3m，0)(m＞0)，N、P兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足，.

(Ⅰ)求動點Q的軌跡方程；

(Ⅱ)若正方形ABCD的三個頂點A、B、C在點Q的軌跡上，求正方形ABCD面積的最小值.

Answer 1

解：(1)設Q(x,y),因為,所以N(0,),

又M(-3m,0),所以=(3m,),=(x,),

由已知=0,則3mxy²=0,y²=4mx.

即Q點軌跡方程為y²=4mx.

(Ⅱ)如圖,不妨設正方形在拋物線上的三個頂點中A、B在x軸的下方(包括x軸),記A、B、C的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,x₂),(x₃,y₃),其中y₃＞0≥y₂＞y₁并設直線AB的斜率為k(k＜0)

則有                  ①

又因為A、B、C在拋物線y²=4mx上,故有x₁=,x₂=,x₃=代入①式得

y₁=y₂,y₃=-4mk-y₂                        ②

∵|AB|=|BC|即

∴(y₂-y₁)=(y₃-y₂)

∴(y₂-y₁)=-k(y₃-y₂)將②代入可得：y₂+y₂=-k(-4mk-2y₂)

即-4mk²-=-2(-k+1)y₂,得y₂=

正方形的邊長為|AB|=(y₃-y₂)=(-4mk-2y₂)

=(-4mk)=4m[-k-]=4m

易知所以4m

所以正方形ABCD面積的最小值為32m²