Question

已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+f'（x），當(dāng)

3

2

≤k≤

5

2

時(shí)，對任意x∈[0，1]，都有g(shù)（x）≥λ成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再根據(jù)f′（x），f（x）隨x的變化情況，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1），對k-1是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）要使當(dāng)

3

2

≤k≤

5

2

時(shí)，對任意x∈[0，1]，都有g(shù)（x）≥λ成立，則有g(shù)（x）_min≥λ成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）_min，即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下：

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k-1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k-1，+∞）；
（2）當(dāng)k-1≤1，即k≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（1）=e-ek；
當(dāng)1＜k-1＜2，即2＜k＜3時(shí)，由（1）知，f（x）在區(qū)間[1，k-1]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間（k-1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當(dāng)k-1≥2，即k≥3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=（2-k）e²；
綜上所述，當(dāng)k≤2時(shí)，f（x）的最小值為（1-k）e；
當(dāng)k≥3時(shí)，f（x）的最小值為（2-k）e²；
當(dāng)2＜k＜3時(shí)，f（x）的最小值為-e^k-1；（8分）
∴f（x）_min=

e-ek k≤2 -ek-1 2＜k＜3 (2-k)e2 k≥3

．
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（2x-2k+1）e^x
∴g′（x）=（2x-2k+3）e^x
當(dāng)

3

2

≤k≤

5

2

時(shí)，對任意x∈[0，

2k-3

2

），g′（x）＜0，x∈（

2k-3

2

，1]，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，

2k-3

2

]上單調(diào)減，在（

2k-3

2

，1]上單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（

2k-3

2

）=-2e

2k-3

2

要使當(dāng)

3

2

≤k≤

5

2

時(shí)，對任意x∈[0，1]，都有g(shù)（x）≥λ成立，則有g(shù)（x）_min≥λ成立，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ≤-2e

2k-3

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題，對方程f'（x）=0根是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬于中檔題．