Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）試判斷函數的單調性；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析； (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對a分類，當a≤0時，＜0，f（x）為R上的減函數；當a＞0時，由導函數為0求得導函數的零點，再由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各段內的符號得到原函數的單調性；

（Ⅱ）分離參數t，可得恒成立．令，則問題等價于求解函數g（x）的最小值，然后利用導數分析求解函數g（x）的最小值得答案．

（Ⅰ）由題可得函數的定義域為，，

當時，因為，所以，所以函數在上單調遞減；

當時，令，解得；令，解得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）當時，，

則不等式可化為，

因為不等式恒成立，所以原問題可轉化為．

設，顯然函數的定義域為，，

令，則恒成立，

所以函數在上單調遞增，

又，所以當時，；當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以，

故實數的取值范圍為．