Question

（2012•道里區(qū)二模）過拋物線x²=4y上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于點P（x₀，y₀），

PA

•

PB

=0．
（1）求y₀；
（2）求證：直線AB恒過定點；
（3）設(shè)（2）中直線AB恒過定點F，是否存在實數(shù)λ，使

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A，B的坐標，求得直線PA、PB的方程，利用

PA

•

PB

=0，可得y₀；
（2）求出直線AB的方程，令x=0，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可證得直線AB恒過定點；
（3）利用坐標表示向量，結(jié)合數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，（x₁≠x₂）．
由x²=4y，得：y′=

x

2

，∴kPA=

x1

2

，kPB=

x2

2

∵

PA

•

PB

=0，∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
直線PA的方程是：y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

．①
同理，直線PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

．②
由①②得：y0=

x1x2

4

=-1，（x₁，x₂∈R）．…（4分）
（2）證明：由（1）可得直線AB的方程為y-

x 2 1

4

=

x 2 2 4 - x 2 1 4

x2-x1

(x-x1)
令x=0，可得y-

x 2 1

4

=

x2+x1

4

•(-x1)，
∵

x1x2

4

=-1，∴y=1
∴直線AB恒過點（0，1）…（8分）
（3）解：由（1）得：

FA

=(x1，

x 2 1

4

-1)，

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1)，x₁x₂=-4，
∴

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

∵P=(

x1+x2

2

，-1)，∴

FP

=(

x1+x2

2

，-2)，
∴(

FP

)2=

(x1+x2)2

4

+4=

x 2 1 + x 2 2

4

+2，
∴

FA

•

FB

+(

FP

)2=0．
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．…（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．