Question

【題目】已知函數，其中．

（1）若和在區間上具有時間的單調性，求實數的取值范圍；

（2）若，且函數的最小值為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為,在上恒成立,即在上單調遞減,所以,且單調遞增,比較與端點的大小關系,即時,,不合題意；即時,在上單調遞減,在上單調遞增,又在上單調遞減,所以解得；（2）,令,通過參變分離構造新函數,可判斷出在時,,所以的單調性與的正負有關,因此在單減,單增,所以,通過求導可求得最小值.

試題解析：解：（1），

∵在上恒成立，即在上單調遞減，

當時，，即在上單調遞增，不合題意

當時，由，得，由，得，

∴的單調減區間為，單調增區間為

∵和在區間上具有相同的單調性，

∴，解得，

綜上，的取值范圍是

（2），

由得到，設，

當時，；當時，，

從而在上遞減，在上遞增，∴

當時，，即，

在上，遞減；

在上，遞增，∴，

設，

在上遞減，∴，

∴的最小值為0．