Question

（2012•茂名二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=x，△BCD是正三角形．
（1）將四邊形ABCD的面積S表示為x的函數；
（2）求S的最大值及此時的x值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ABD中，由AB，AD及cosx的值，利用余弦定理表示出BD²，然后利用三角形的面積公式標宋出三角形BCD與三角形ABD的面積，兩三角形面積相加表示出四邊形ABCD的面積S與x的函數關系式；
（2）將S與x的關系式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出S的最大值及此時x的值．

解答：解：（1）在△ABD中，AB=AD=2，∠BAD=x，
根據余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosx=2²+2²-2×2×2cosx=8-8cosx，
∴S_△BCD=

1

2

BD•BDsin

π

3

=

3

4

BD²=

3

4

（8-8cosx）=2

3

-2

3

cosx，S_△ABD=

1

2

AB•ADsinx=2sinx，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=2

3

-2

3

cosx+2sinx=2

3

+4sin（x-

π

3

），
（2）∵x∈（0，π），
∴x-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
又S_{四邊形ABCD}=2

3

+4sin（x-

π

3

），
∴當x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

6

時，S_{四邊形ABCD}取得最大值，最大值為4+2

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的圖象與性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．