Question

已知函數，.

(1)求曲線f(x)在點A處的切線方程；

(II)討論函數f(x)的單調性;

(III)是否存在實數，使當時恒成立？若存在，求 出實數a;若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)∵ a＞0，，

∴

=，               …… 2分

于是，，所以曲線y = f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程為，即（a－2）x－ay + 1 = 0．                ……… 4分

(Ⅱ)∵ a＞0，e^ax＞0，∴ 只需討論的符號．   ………… 5分

ⅰ）當a＞2時，＞0，這時f ′（x）＞0，所以函數f（x）在（－∞，+∞）上為增函數．

ⅱ）當a = 2時，f ′（x）= 2x²e^2x≥0，函數f（x）在（－∞，+∞）上為增函數．…6分

ⅲ）當0＜a＜2時，令f ′（x）= 0，解得，．

當x變化時， f '（x）和f（x）的變化情況如下表：

x
f '（x）	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f(x)在，,為增函數,f(x)在為減函數．    …… 9分

(Ⅲ)當a∈（1，2）時，∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在上是減函數，在上是增函數，故當x∈（0，1）時，，……10分

∴當x∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立．……11分

當a∈（1，2）時，，設，則，表明g(t) 在（0，1）上單調遞減，于是可得，即a∈（1，2）時恒成立，……13分   符合條件的實數a不存在．

【解析】略