已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分別是
、
上的點，
∥，
，
是的中點.沿將梯形翻折，使平面
⊥平面
(如圖) .
(Ⅰ) 當
時，求證：
⊥
；
(Ⅱ) 若以、
、
、
為頂點的三棱錐的體積記為 
，求的最大值；
(Ⅲ)當取得最大值時，求二面角
的余弦值.
解:（Ⅰ）（法一）作
于
，連
，
由平面
平面
知 
平面
而
平面，故
又四邊形
為正方形
∴ 
又
，故
平面
而
平面
∴ 
. （或者直接利用三垂線定理得出結果）
（法二）∵ 平面平面 
∴ 
⊥面平面
∴ ⊥
, ⊥
,又⊥
故可如圖建立空間坐標系
．
則
，
，
∴ 
∴ 
.
（Ⅱ） ∵ 
，面面
∴ 
面
又由（Ⅰ）平面 ∴ 
所以 
＝
即
時
有最大值為
．
（Ⅲ）（法一）作于，作
，連
由三垂線定理知
∴ 
是二面角
的平面角的補角
由
∽
，知 
而
，
∴ 
又
∴ 在
中，
因為∠是
銳角 ∴
∠＝
而∠是二面角的平面角的補角
故二面角的余弦值為－.
（法二）設平面
的法向量為
∵ 
,
，
，
∴ 
則
即
取 
則 
∴ 
面
的一個法向量為
則<
>
由于所求二面角的平面角為鈍角，
所以，此二面角的余弦值為－
.
科目：高中數學 來源： 題型：
（08年岳陽一中二模理）（12分） 已知梯形
中，
∥
，
，
， 
、
分別是
、
上的點，
∥，
，
是的中點，沿將 梯形翻折，使平面
平面
(如圖)。
（1）當
時，求證：
；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為
，求的最大值；當取得最大值時，求二面角D-BF-C的大小。
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年山西忻州一中等四校高三上學期第二次聯考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知梯形
中
，
，
，
、
分別是
、
上的點，
，
．沿
將梯形
翻折，使平面
⊥平面
(如圖)．
是的中點．
（1）當
時，求證：
⊥
；
（2）當
變化時，求三棱錐
體積的最大值．
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科目：高中數學 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試數學試卷（奧數班）（解析版） 題型：解答題
已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分別是
、
上的點，
∥，
，
是的中點．沿將梯形翻折，使平面
⊥平面
（如圖）.
（I）當
時，求證：
；
（II）若以、
、
、
為頂點的三棱錐的體積記為
，求的最大值；
（III）當取得最大值時，求二面角
的余弦值．
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年四川省高三第七次月考理科數學卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分別是
上的點，
∥，
，
是的中點。沿將梯形翻折，使平面
⊥平面
(如圖) .
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）以
為頂點的三棱錐的體積記為
，求的最大值；
（Ⅲ）當取得最大值時，求鈍二面角
的余弦值.
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中，
,
。求梯形的高．