Question

【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區間；

(2)是否存在實數，使得函數的極值大于?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間

為；當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間. （2）存在，范圍為

【解析】

試題（1）函數的定義域為，.

① 當時，，∵∴，∴ 函數單調遞增區間為

② 當時，令得，即，.

（ⅰ）當，即時，得，故，

∴ 函數的單調遞增區間為.

（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為，.

若，則，此時，當時，.

∴函數的單調遞增區間為，若，則，此時，當時，，當時，

∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間

為；當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間.

（2）由(1)得當時，函數在上單調遞增，故函數無極值

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

∴有極大值，其值為，其中.

∵，即， ∴.

設函數，則，

∴在上為增函數，又，則 ，

∴ .

即，結合解得，∴實數的取值范圍為.