Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

（a＞0，b＞0）的離心率e=2，過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂．若直線AB過原點，則k₁•k₂的值為（　　）

• A．2
• B．3
• C．

  3

• D．

  6

Answer 1

分析：設出M、N、P，表示出k₁•k₂，M、N、P代入雙曲線方程并化簡，代入雙曲線的離心率乘積，求出k₁•k₂的值．

解答：解：因為過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂．若直線AB過原點，
所以A、B關于原點對稱，
設M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），
則有k₁•k₂=

t-q

s-p

•

t+q

s+p

=

t2-q2

s2-p2

，

p2

a2

-

q2

b2

=1，

s2

a2

-

t2

b2

=1，
兩式相等得：

p2

a2

-

q2

b2

=

s2

a2

-

t2

b2

，
即

t2-q2

b2

=

s2-p2

a2

，

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

，
k₁•k₂=

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

=

c2-a2

a2

=2²-1=3．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質，考查轉化思想，化簡得到 K₁•K₂是解題的關鍵．