Question

已知{a_n}是等差數列，{b_n}是各項為正數的等比數列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求通項公式{a_n}和{b_n}；
（2）若c_n=

an

bn

，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，根據等比數列和等差數列的通項公式，聯立方程求得d和q，進而可得{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}的通項公式由等差和等比數列構成，進而可用錯位相減法求得前n項和S_n．

解答： 解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
由已知得，

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

，解得d=2，q=2．
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
Sn=

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②得：

1

2

Sn=1+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

．
∴Sn=2-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求數列的和，是中檔題．