Question

己知(b－c)x＋(c－a)y＋(a－b)z＝0，

(1)設a，b，c依次成等差數列，且公差不為0，求證：x，y，z成等比數列；

(2)設正數x，y，z依次成等比數列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

證 (1)∵a，b，c成等差數列，且公差d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d．代入條件得－d(x－2y＋z)＝0，即x＋z＝2y．∴＝xy，∵x，y，z均為正數，∴x，y，z成等比數列． 　　(2)∵x，y，z成等比數列且公比q≠1，∴y＝xq，z＝代入已知條件，得(b－c)x＋(c－a)xq＋(a－b)＝0，∴(c＋a－2b)q＝0，∵q≠1，∴q≠0，∴c＋d－2b＝0，即2b＝a＋c，∴a，b，c成等差數列．