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己知函數f(x)=|x3+a|,a∈R在[-1,1]上的最大值為M(a),則函數g(x)=M(x)-|x2-1|的零點個數為(  )
A、1個B、2個C、3個D、4個
分析:根據條件求出函數M(a)的表達式,然后由g(x)=0得M(x)=|x2-1|,利用數形結合即可得到 函數的零點個數.
解答:精英家教網解:當a=0時,f(x)=|x3+a|=|x3|為偶函數,此時最大值為M(a)=M(-1)=M(1),
當a>0時,函數在[-1,1]上的最大值為M(a)=f(1)=|1+a|=a+1,
當a<0時,函數在[-1,1]上的最大值為M(a)=f(-1)=|-1+a|=1-a,
即M(a)=
a+1,a≥0
1-a,a<0

∴M(x)=
x+1,x≥0
1-x,x<0

由g(x)=M(x)-|x2-1|=0得M(x)=|x2-1|,
令函數y=M(x),y=m(x)=|x2-1|,
作出兩個函數的圖象如圖:
則兩個圖象的交點個數有3個.
故函數g(x)=M(x)-|x2-1|的零點個數為3個.
故選:C.
點評:本題主要考查函數零點個數的判斷,利用數形結合是解決本題的關鍵,根據條件求出M(a)的表達式是本題的難點.
練習冊系列答案
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己知函數f(x)=3cos(2x-
π
3
)(x∈R),則下列結論錯誤的是(  )
A、函數f(x)的圖象的一條對稱軸為x=
6
B、點(-
π
12
,0)是函數f(x)圖象上的一個對稱中心
C、函數f(x)在區間(
π
12
π
4
)上的最大值為3
D、函數f(x)的圖象可以由函數g(x)=3cos2x圖象向右平移
π
3
個單位得到

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1
3
)x
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π
3
π
4
]
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