Question

【題目】已知函數.

（1）若，證明：當時，；當時，；

（2）若是的極大值點，求.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）對函數f（x）兩次求導數，分別判斷f′（x）和f（x）的單調性，結合f（0）=0即可得出結論；（2）令h（x）為f′（x）的分子，令h″（0）計算a，討論a的范圍，得出f（x）的單調性，從而得出a的值．

詳解：

（1）證明：當a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，，

可得x∈（﹣1，0）時，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）時，f″（x）≥0

∴f′（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

∴f′（x）≥f′（0）=0，

∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上單調遞增，又f（0）=0．

∴當﹣1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0．

（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得

f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，

令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），

h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．

當a≥0，x＞0時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，

∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，故x=0不是f（x）的極大值點，不符合題意．

當a＜0時，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，

顯然h″（x）單調遞減，

①令h″（0）=0，解得a=﹣．

∴當﹣1＜x＜0時，h″（x）＞0，當x＞0時，h″（x）＜0，

∴h′（x）在（﹣1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，

∴h′（x）≤h′（0）=0，

∴h（x）單調遞減，又h（0）=0，

∴當﹣1＜x＜0時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，

當x＞0時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，

∴x=0是f（x）的極大值點，符合題意；

②若﹣＜a＜0，則h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，

∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一個零點，設為x0，

∴當0＜x＜x0時，h″（x）＞0，h′（x）單調遞增，

∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x0）上單調遞增，不符合題意；

③若a＜﹣，則h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，

∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一個零點，設為x1，

∴當x1＜x＜0時，h″（x）＜0，h′（x）單調遞減，

∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）單調遞增，

∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（x1，0）上單調遞減，不符合題意．

綜上，a=﹣．