Question

如圖，圓O是△ABC的外接圓，AB=AC，過點A作AP∥BC，交BO的延長線于點P．
（1）求證：AP是圓O的切線；
（2）若圓O的半徑R=5，BC=8，求線段AP的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可知AE⊥BC且BE=CE，得出AE經過圓心O，只要證明AP⊥AE即可；
（2）可通過△APO∽△EBO及勾股定理求出AP的長．

解答：證明：（1）過點A作AE⊥BC，交BC于點E，
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴點O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP為圓O的切線．（4分）
解：（2）∵BE=

1

2

BC=4，
∴OE=

OB2-BE2

=3，
又∵∠AOP=∠BOE，∠P=∠OBE
∴△OBE∽△OPA，（6分）
∴

BE

AP

=

OE

OA

．
即

4

AP

=

3

5

．
∴AP=

20

3

．（8分）

點評：本題考查了與圓有關的比例線段、切線的判定，先要證明AE經過圓心，再證明垂直即可．求AP的長，注意與已知線段相關的三角形聯系，找準相似三角形．