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2.如圖,已知等邊△ABC的邊長為2,圓A的半徑為1,PQ為圓A的任意一條直徑.
(1)判斷$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$的值是否會隨點P的變化而變化,請說明理由.
(2)求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值.

分析 (1)將$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$,利用平面向量基本定理化簡成:-$\overrightarrow{AP}$2+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$,再結合向量的數量積公式即可得出不會隨點P的變化而變化,值為1;
(2)先結合圖形利用平面向量基本定理將向量$\overrightarrow{BP}$,$\overrightarrow{CQ}$分別用向量$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$表示,再利用題中條件化成1+2cosθ,最后結合三角函數的性質求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值.

解答 解:(1)由于$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=($\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$)•($\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AC}$)-$\overrightarrow{AP}$•($\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$),$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AQ}$.
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=($\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$)•(-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$)-$\overrightarrow{AP}$•($\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$)=-$\overrightarrow{AP}$2+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=-1+2×2×$\frac{1}{2}$=1.
所以$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=1,
即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$不會隨點P的變化而變化,值為1.
(2)$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=($\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$)•($\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$)=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$
=2×2×$\frac{1}{2}$+$\overrightarrow{AQ}$•($\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{CA}$)-$\overrightarrow{AQ}$2=2-1+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BC}$
=1+1×2cosθ(其中θ為$\overrightarrow{AQ}$,$\overrightarrow{BC}$的夾角)
所以 θ=0時,$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取最大值3.

點評 本題主要考查向量的模、最大值問題中的應用、平面向量數量積的運算等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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