Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若點P為△BCD的重心，則D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為

arctan

10

5

．

Answer 1

分析：過P作PE⊥AD交AD于E點，則∠ED₁P為D₁P與平面ADD₁A₁所成角，設立方體棱長為3，則有ED=1，PE=2，從而可得D₁E=

10

，在△ED₁P中，利用正切函數，可求D₁P與平面ADD₁A₁所成角．

解答：解：過P作PE⊥AD交AD于E點，
因為平面ABCD⊥平面ADD₁A₁，所以直線PE⊥平面ADD₁A₁，所以∠ED₁P為D₁P與平面ADD₁A₁所成角；
因為P為三角形BCD的重心，則P分B到CD中點的連線為2：1
因為PE⊥AD，CD⊥AD，所以PE∥CD，所以E點分AD長度為2：1，即AE=2ED
延長EP交BC于F，記BD于PE的交點為G
因為EF∥CD，且BP為中線，所以有FP=PG=

1

3

CD．
設立方體棱長為3，則有ED=1，PE=2，∴D₁E=

10

在△ED₁P中，tan∠ED₁P=

PE

D1E

=

2

10

=

10

5

∴D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為arctan

10

5

故答案為：arctan

10

5

點評：本題考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確作出線面角，屬于中檔題．