Question

（2012•濰坊二模）已知雙曲線C：

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為C的右支上一點，且|PF₂|=|F₁F₂|，則

PF1

•

PF2

等于（　�。�

Answer 1

分析：設點P的坐標為（m，n），其中m＞2，根據點P在雙曲線上且|PF₂|=|F₁F₂|，建立關于m、n的方程組，解之得m、n的值，從而得到向量

PF1

、

PF2

的坐標，利用向量數量積的坐標公式，可算出

PF1

•

PF2

的值．

解答：解：根據雙曲線方程

x2

4

-

y2

5

=1，
得a²=4，b²=5，c=

a2+b2

=3，所以雙曲線的焦點分別為F₁（-3，0）、F₂（3，0），
設點P的坐標為（m，n），其中m＞2，則
∵點P在雙曲線上，且|PF₂|=|F₁F₂|，
∴

m2 4 - n2 5 =1 (m-3)2+n2 =6

，解之得m=

16

3

，n=±

5

3

11

∵

PF1

=（-3-m，-n），

PF2

=（3-m，-n）
∴

PF1

•

PF2

=（-3-m）（3-m）+（-n）（-n）=m²-9+n²=

256

9

-9+

275

9

=50
故選C

點評：本題給出雙曲線上一點到右焦點的距離恰好等于焦距，求該點指向兩個焦點向量的數量積，著重考查了向量的數量積和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．