Question

已知B（-1，1）是橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，過C作斜率為k的直線l交橢圓于D，E兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4，求出a的值，代入B的坐標(biāo)，求出b的值，即可求出橢圓的方程；
（2）利用，得出，分類討論，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，2a=4，∴a=2，
∵B（-1，1）是橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，
∴
∴
∴橢圓方程為
（2）由題意A（-2，0），B（-1，1），則AB的方程為y=x+2，
∴C（0，2），∴
∵，∴，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₂=3x₁，
若CD斜率不存在，方程為x=0，D（0，），E（0，-），
∴，
若CD斜率存在，設(shè)y=kx+2，代入橢圓方程，得到（3k²+1）x²+12kx+8=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∵x₂=3x₁，
∴．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．