Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點(diǎn)．

（I）求證： ．

（II）若， 分別是， 的中點(diǎn)，求證： ∥平面．

（III）若二面角的大小為，求線段的長

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）見解析（III）

【解析】試題分析：

（1）∵平面，∴．又，所以面．從而（2）欲證線面平行，轉(zhuǎn)證即可，（3））以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．

求出法向量，帶入公式即可.

試題解析：

（I）∵平面， 面，

∴．

∵， ，

∴中， ，

∴．

∵，

∴面．

∵面，

∴．

（II）連接交于點(diǎn)．

∵四邊形是平行四邊形，

∴是的中點(diǎn)．

又∵， 分別是， 的中點(diǎn)，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

又平面， 面，

∴平面．

（III）∵，且平面，

∴， ， 兩兩垂直。

以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則， ， ， ，

∴， ， ．

設(shè)平面的法向量為，

故， ，

則有，令，則，

又平面的法向量為．

∵二面角的大小為，

∴，

解得，即，

，

∴．