Question

已知橢圓 （常數m＞1），P是曲線C上的動點，M是曲線C上的右頂點，定點A的坐標為（2，0）
（1）若M與A重合，求曲線C的焦點坐標；
（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；
（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實數m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標，可得參數a的值，已知b=1，進而可得答案；
（2）根據題意，可得橢圓的方程，變形可得y²=1-；而|PA|²=（x-2）²+y²，將y²=1-代入可得，|PA|²=-4x+5，根據二次函數的性質，又由x的范圍，分析可得，|PA|²的最大與最小值；進而可得答案；
（3）設動點P（x，y），類似與（2）的方法，化簡可得|PA|²=（x-）²++5，且-m≤x≤m；根據題意，|PA|的最小值為|MA|，即當x=m時，|PA|_^取得最小值，根據二次函數的性質，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．
解答：解：（1）根據題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標為（2，0）；
則a=2；橢圓的焦點在x軸上；
則c=；
則橢圓焦點的坐標為（，0），（-，0）；
（2）若m=3，則橢圓的方程為+y²=1；
變形可得y²=1-，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根據二次函數的性質，分析可得，
x=-3時，|PA|²=-4x+5取得最大值，且最大值為25；
x=時，|PA|²=-4x+5取得最小值，且最小值為；
則|PA|的最大值為5，|PA|_^的最小值為；
（3）設動點P（x，y），
則|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=（x-）²++5，且-m≤x≤m；
當x=m時，|PA|_^取得最小值，且＞0，
則≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+．
點評：本題考查橢圓的基本性質，解題時要結合二次函數的性質進行分析，注意換元法的運用即可．