Question

已知橢圓  （常數m、n∈R⁺，且m＞n）的左右焦點分別為F₁，F₂ ，M、N為短軸的兩個端點，且四邊形F₁MF₂N是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過原點且斜率分別為k和-k（k≥2）的兩條直線與橢圓 的交點為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點A位于第一象限內），求四邊形ABCD的面積S的最大值．．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得，由此能得到所求橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x，y）．由得．根據題設直線圖象與橢圓的對稱性，知
．由此能求出四邊形ABCD的面積S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）依題意：，∴，
所求橢圓方程為．（3分）
（Ⅱ）設A（x，y）．
由得．（6分）
根據題設直線圖象與橢圓的對稱性，知（8分）
．（9分）
∴．
設，則，當k≥2時，
∴M（k）在k∈[2，+∞）時單調遞增，∴，（11分）
∴當k≥2時，．（12分）
點評：本題考查橢圓的方程的求法和四邊形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．