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已知橢圓,常數m、n∈R+,且m>n.
(1)當m=25,n=21時,過橢圓左焦點F的直線交橢圓于點P,與y軸交于點Q,若,求直線PQ的斜率;
(2)過原點且斜率分別為k和-k(k≥1)的兩條直線與橢圓的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列,且點A位于第一象限內),試用k表示四邊形ABCD的面積S;
(3)求S的最大值.
【答案】分析:(1)求出橢圓的左焦點,設出P、Q坐標,利用若,和P在橢圓上,求出P、Q坐標,推出直線PQ的斜率;
(2)寫出直線l1:y=kx,l2:y=-kx與橢圓方程聯立,求出A坐標,然后求出四邊形ABCD的面積S;
(3)化簡S的表達式,,利用的單調性,求出函數S的最大值.
解答:解:(1)∵m=25,n=21,∴.(2分)
設滿足題意的點為P(x,y)、Q(0,t).
∴(-2,-t)=2(x+2,y),.(4分)
.(5分)
.(6分)
(2)∵過原點且斜率分別為k和-k(k≥1)的直線l1:y=kx,l2:y=-kx關于x軸和y軸對稱,
∴四邊形ABCD是矩形.(8分)
設點A(x,y).
聯立方程組于是x是此方程的解,故(10分)
.(12分)
(3)
,則g(k)在[1,+∞)上是單增函數.(13分)
理由:對任意兩個實數k1、k2∈[1,+∞),且k1<k2,則
==.(14分)
∵m>n>0,k2>k1≥1,∴k1k2>1,mk1k2-n>0.又k1-k2<0,

∴g(k)在[1,+∞)上是單增函數,于是g(k)min=g(1)=m+n.(16分)

.(18分)
點評:本題考查直線的斜率,直線與圓錐曲線的綜合問題,考查學生分析問題解決問題的能力,是難度較大題目.
練習冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過原點且斜率分別為k和-k(k≥2)的兩條直線與橢圓 數學公式的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列,且點A位于第一象限內),求四邊形ABCD的面積S的最大值..

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