Question

已知橢圓，常數m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）當m=25，n=21時，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于點P，與y軸交于點Q，若，求直線PQ的斜率；
（2）過原點且斜率分別為k和-k（k≥1）的兩條直線與橢圓的交點為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點A位于第一象限內），試用k表示四邊形ABCD的面積S；
（3）求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出橢圓的左焦點，設出P、Q坐標，利用若，和P在橢圓上，求出P、Q坐標，推出直線PQ的斜率；
（2）寫出直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx與橢圓方程聯立，求出A坐標，然后求出四邊形ABCD的面積S；
（3）化簡S的表達式，，利用的單調性，求出函數S的最大值．
解答：解：（1）∵m=25，n=21，∴．（2分）
設滿足題意的點為P（x，y）、Q（0，t）．，
∴（-2，-t）=2（x+2，y），．（4分）
．（5分）
∴．（6分）
（2）∵過原點且斜率分別為k和-k（k≥1）的直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx關于x軸和y軸對稱，
∴四邊形ABCD是矩形．（8分）
設點A（x，y）．
聯立方程組于是x是此方程的解，故（10分）
∴．（12分）
（3）．
設，則g（k）在[1，+∞）上是單增函數．（13分）
理由：對任意兩個實數k₁、k₂∈[1，+∞），且k₁＜k₂，則
==．（14分）
∵m＞n＞0，k₂＞k₁≥1，∴k₁k₂＞1，mk₁k₂-n＞0．又k₁-k₂＜0，
∴．
∴g（k）在[1，+∞）上是單增函數，于是g（k）_min=g（1）=m+n．（16分）
∴．
∴．（18分）
點評：本題考查直線的斜率，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析問題解決問題的能力，是難度較大題目．