Question

一個特殊模具容器橫斷面如圖所示：內壁是拋物線的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的兩腰AF、BE及底AB圍成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，點O到EF的距離是8厘米，BE所在直線與拋物線相切于點E．
（Ⅰ）求切線BE的方程和容器的高h；
（Ⅱ）求這個容器橫斷面的面積（陰影部分）

Answer 1

解：（Ⅰ）∵EF=8，且EF關于y軸對稱，∴點E的橫坐標為4，
又∵點E在拋物線上，∴點E的縱坐標是y_E=8即E（4，8）
函數的導數為y′=x
∵直線BE與拋物線相切，E為切點，
∴直線BE的斜率k=y'|_x=4=4
∴直線BE的方程是y-8=4（x-4）即y=4x-8
∵AB=3，且AB關于y軸對稱，∴B的橫坐標是，
又點B在直線y=4x-8上
∴點B的縱坐標是
∴h=y_E-y_B=8-（-2）=10
即容器的高為10厘米
（Ⅱ）∵EF=8，E點的橫坐標為4，∴F點的橫坐標為-4．
S_梯形ABEF===55
∵直線EF方程為y=8，
∴拋物線與直線EF所圍曲邊圖形面積S₀=∫_-4⁴（8-）dx=（8x-）|_-4⁴=
∴容器橫斷面的面積S=S_梯形ABEF-S₀=55-=
∴這個容器橫斷面的面積平方厘米
分析：（Ⅰ）欲求切線BE方程，只需求出切點E的坐標和切線斜率，因為EF=8厘米，所以可求E點的橫坐標，代入拋物線方程就可求出E點的縱坐標，再根據切線的斜率是曲線在切點處的導數，通過求導，就可求出切線BE的斜率，得到BE的方程．
容器的高h等于直線AB與直線EF之間的距離，也即點B與點F的縱坐標之差的絕對值，由前面已知E點坐標，因為AB=3厘米，所以B點橫坐標為，又因為B點在直線BE上，代入直線BE方程，就可得到B點縱坐標，求出容器的高h．
（Ⅱ）有圖知這個容器橫斷面的面積為梯形ABEF的面積，減去直線EF與拋物線所圍曲邊梯形的面積，由（Ⅰ）可知梯形的上下底長和高，易求面積，而曲邊梯形的面積即為函數y=8-在區間[-4，4]的定積分，所以陰影面積可求．
點評：本題主要考查了導數的幾何意義，函數在某點處的切線方程的求法，定積分的幾何意義，微積分基本定理及其應用