Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，設a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=b_n+2．
（1）求a_n，b_n；
（2）若數列{b_n}的前n項和為B_n，比較

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

與2的大小；
（3）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，是否存在正整數M，使得T_n＜M對一切正整數n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2a_n=S_n+2，故可得2a_n+1=S_n+1+2，兩式相減可得數列{a_n}是2為首項，2為公比的等比數列，又數列{b_n}是1為首項，2為公差的等差數列，可得它們的通項公式；
（2）可的B_n=n²，故

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

，由放縮法和裂項相消法可得結論；
（3）可得T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，由錯位相減法可得可得T_n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n+1

＜3，可得結論．

解答：解：（1）由題意可得2a_n=S_n+2，故可得2a_n+1=S_n+1+2，
兩式相減可得2a_n+1-2a_n=S_n+1-S_n=a_n+1，即a_n+1=2a_n，
又可得2a₁=S₁+2=a₁+2，解得a₁=2，
故數列{a_n}是2為首項，2為公比的等比數列，
故a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
又b₁=1，b_n+1=b_n+2，
所以數列{b_n}是1為首項，2為公差的等差數列，
故b_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）由（1）可知B_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
故

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n-1

-

1

n

）
=2-

1

n

＜2
（3）可得T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，
∴

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

兩式相減可得

1

2

T_n=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

，
化簡可得T_n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n+1

＜3，
又T₁=

1

2

，T_n單調遞增，
∴T_n∈[

1

2

，3），故M的最小值為3

點評：本題考查數列的求和，涉及裂項相消法和錯位相減法求和，以及放縮法的應用，屬中檔題，