Question

如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客同時從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再勻速步行到C．假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

．
（1）求索道AB的長；
（2）為使乙游客在C處趕在甲游客前面先到達，乙步行的速度至少應為多少？（結果保留到個位）

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的關系，算出sinA=

5

13

，sinC=

4

5

，從而得到sinB=sin（A+C）=

63

65

．再在△ABC中利用正弦定理加以計算，即可得到索道AB的長；
（2）根據山路AC長和甲沿步行速度算出甲到達C處所需的時間約為25.2min，同理算出纜車從A到B所需時間為8min．設乙步行的速度為vm/min，由正弦定理算出BC=500m，從而得出乙從B到C所需時間為

500

v

min，再結合題意建立關于v的不等式，解之得v≥30.9vm/min，即可得到乙步行的速度至少為31m/min．

解答：解：（1）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

13

，sinC=

1-cos2B

=

4

5

可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

63

65

由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

，得AB=

ACsinC

sinB

=

1260× 4 5

63 65

=1040m
即索道AB的長等于1040m；
（2）∵山路AC長為1260m，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min
∴甲到達C處所需的時間為

1260

50

=25.2min
∵索道AB的長等于1040m，纜車勻速直線運動的速度為130m/min
∴纜車從A到B所需時間為

1040

130

=8min
設乙步行的速度為vm/min，由正弦定理算出BC=

ACsinA

sinB

=

1260× 5 13

63 65

=500m，
得乙從B到C所需時間為

500

v

min
結合題意，得8+1+

500

v

≤25.2，解之得v≥30.9vm/min，
精確到整數，可得乙步行的速度至少為31m/min．

點評：本題給出實際應用問題，求索道的長并研究甲乙二人到達時間的問題．著重考查了同角三角函數的基本關系、正余弦定理解三角形和解三角形的實際應用等知識，屬于中檔題．