Question

（2012•泉州模擬）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；
（Ⅱ）若存在實數x∈D使

3x

+

2-x

＞a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，分類討論，化簡函數，即可求解不等式；
（Ⅱ）利用柯西不等式，確定

3x

+

2-x

的最小值，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當x≤-1時，由f（x）=-x+2≤0，得x≥2，所以x∈∅；
當-1＜x≤

1

2

時，由f（x）=-3x≤0得x≥0，所以0≤x≤

1

2

；
當x＞

1

2

時，由f（x）=x-2≤0得x≤2，所以

1

2

＜x≤2．…（2分）
綜上得：不等式f（x）≤0的解集D={x|0≤x≤2}．…（3分）
（Ⅱ）

3x

+

2-x

=

3

x

+

2-x

，…（4分）
由柯西不等式得(

3

x

+

2-x

)2≤（3+1）（x+（2-x））=8，
∴

3x

+

2-x

≤2

2

，…（5分）
當且僅當x=

3

2

時取“=”，
∴a的取值范圍是(-∞，2

2

)．…（7分）

點評：本題主要考查絕對值的含義、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力以及推理論證能力，考查函數與方程思想以及分類與整合思想．