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（2012•泉州模擬）設函數y=f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點（a，b）為函數y=f（x）圖象的對稱中心．研究并利用函數f（x）=x3-3x2-sin（πx）的對稱中心，可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　�。�
分析：函數（x）=x3-3x2-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），即x1+x2=2時，總有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到結論．
解答：解：由題意可知要求f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)的值，
易知
1
2012
+
4023
2012
=
2
2012
+
4022
2012
=…=2，
所以函數（x）=x3-3x2-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），
即x1+x2=2時，總有f（x1）+f（x2）=-4
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)+f（
4023
2012
）+…+f（
2
2012
）+f（
1
2012
）=-4×4023
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=-8046
故選D．
點評：本題考查函數的對稱性，確定函數的對稱中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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（Ⅱ）已知a＜0，若函數y=f（x）的圖象總在直線y=-
12
的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數f（x）的導函數．若a=1，試問：在區間[1，10]上是否存在k（k＜100）個正數x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結論．

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