Question

對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用符號＜x＞表示．已知無窮數列{a_n}滿足如下條件：
①a₁=＜a＞；②a_n+1=

＜ 1 an ＞(an≠0) 0(an=0)

．
（1）當a=

3

時，數列{a_n}通項公式為

 

；
（2）當a＞

3

2

時，對任意n∈N^*都有a_n=a-1，則a的值為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）當a=

3

時，a1=＜

3

＞=

3

-1．由＜x＞的意義可得a₂=

3 -1

2

，a₃=

3

-1．即可得出通項公式．
（2）由于對任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，可得

1

2

＜a-1＜1，1＜

1

a-1

＜2．因此a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，解出即可．

解答： 解：（1）當a=

3

時，a1=＜

3

＞=

3

-1．
∴a₂=＜

1

3 -1

＞=＜

3 +1

2

＞=

3 -1

2

，
∴a₃=＜

2

3 -1

＞=＜

3

+1＞=

3

-1．
∴數列{a_n}通項公式為an=

3 -1，n為奇數 3 -1 2 ，n為偶數

．
（2）∵對任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，
可得0≤a-1＜1，a＞

3

2

，
∴

1

2

＜a-1＜1，
∴1＜

1

a-1

＜2．
∴a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，
化為a²-a-1=0，
解得a=

5 +1

2

．
故答案分別為：（1）an=

3 -1，n為奇數 3 -1 2 ，n為偶數

．
（2）

5 +1

2

．

點評：本題考查了新定義＜x＞的計算方法、遞推式的意義，考查了推理能力，屬于難題．