Question

已知橢圓C：過點，且離心率．        
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點，且線段 的垂直平分線過定點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，即，，
∴ 
∴ 橢圓C的方程可設為
代入，得           
 解得   
∴ 所求橢圓C的方程是．
（Ⅱ）法一
由方程組   消去，得  
由題意，△  
整理得：①
設，的中點為，
則，   
由已知，  即即  ;
整理得：  
代入①式，并整理得：，   即  
∴                     
（Ⅱ）法二,
由方程組   消去，
得    
由題意，△  
整理得：                           ①
設，的中點為，
則  整理得：      ②
又  ∴                      ③          
由②、③解得   代入，
得   
代入①式，并整理得： ，   即  
∴               
 法三：
由在橢圓內部，得：    
整理得： ，  
即  ∴