Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C ，過點M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.

（Ⅰ）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；

（Ⅱ）設P為橢圓上一點, 且 (O為坐標原點). 求當時，實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）解：設A(x1, y1)，因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，

所以，                                            ---------------------------1分

又因為點A(x1, y1)在橢圓C上，所以，即，解得，

則點A的坐標為或，                       -------------------------3分

所以直線l的方程為或.  --------------------------5分

   （Ⅱ）解：設直線AB的方程為或，A(x1, y1)，B(x2, y2)，，

當AB的方程為時，，與題意不符.        --------------------------6分

當AB的方程為時： 由題設可得A、B的坐標是方程組的解，

 消去y得， 所以即， 

則， --------8分

因為 ，所以，解得， 所以.    --------------------------10分

因為，即，

所以當時，由，得，

上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在；      --------------------11分

當時，，，

 因為點在橢圓上， 所以， --------------------12分

 化簡得， 因為，所以，則. 

綜上，實數的取值范圍為.             ---------------------------14分