Question

已知橢圓C：過點(diǎn)，且離心率為，
(Ⅰ)求橢圓方程；
(Ⅱ)若直線l：y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設(shè)橢圓的離心率，∴，∴a=2c，
∴，∴，，
∴，
∴橢圓的方程為。
(Ⅱ)設(shè)，
由消去y，并整理得
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0，即m²＜4k2+3， ①
且M，N的中點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)MN的垂直平分線l′的方程：，
∵P在l′上，
∴，
即，
∴，
將上式代入①式，得，
∴，即或，
∴k的取值范圍是。