Question

以橢圓的短軸的一個端點B（0，1）為直角頂點，作橢圓的內接等腰直角三角形的個數為（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：設直角三角形一腰所在直線為y=kx+1（k＞0），則另一腰所在直線方程為y=-kx+1，分別代入橢圓方程，求得兩腰的長，由兩腰長相等得關于k的方程，討論方程的根的個數即可得符合條件的三角形的個數．
解答：解：因a=2＞1，短軸一端點為B（0，1），內接直角三角形為△ABC，
則兩腰所在直線的斜率一定存在且不為0，?
設BC：y=kx+1（k＞0）?
則AB：y=-x+1
把BC方程代入橢圓，?
得（1+4k²）x²+24kx=0?
∴|BC|=，同理|AB|=，
由|AB|=|BC|，得?k³-4k²+4k-1=0?
（k-1）[k²-3k+1]=0
∴k=1或k²-3k+1=0?
當k²-3k+1=0時，△=3²-4＞0??
∵△＞0，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
符合條件的等腰三角形可作三個．
故選D．
點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系，通過聯立方程求曲線交點進而求弦長的方法，將符合條件的三角形個數問題轉化為討論方程根的個數問題是解決本題的關鍵．