Question

（2011•浙江模擬）以橢圓

x2

4

+y2=1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，1）為直角頂點(diǎn)，作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（　　）

Answer 1

分析：設(shè)直角三角形一腰所在直線為y=kx+1（k＞0），則另一腰所在直線方程為y=-kx+1，分別代入橢圓方程，求得兩腰的長(zhǎng)，由兩腰長(zhǎng)相等得關(guān)于k的方程，討論方程的根的個(gè)數(shù)即可得符合條件的三角形的個(gè)數(shù)．

解答：解：因a=2＞1，短軸一端點(diǎn)為B（0，1），內(nèi)接直角三角形為△ABC，
則兩腰所在直線的斜率一定存在且不為0，?
設(shè)BC：y=kx+1（k＞0）?
則AB：y=-

1

k

x+1
把BC方程代入橢圓，?
得（1+4k²）x²+24kx=0?
∴|BC|=

1+k2

•

8k

1+4k2

，同理|AB|=

1+k2

•

8

4+k2

，
由|AB|=|BC|，得?k³-4k²+4k-1=0?
（k-1）[k²-3k+1]=0
∴k=1或k²-3k+1=0?
當(dāng)k²-3k+1=0時(shí)，△=3²-4＞0??
∵△＞0，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
符合條件的等腰三角形可作三個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程求曲線交點(diǎn)進(jìn)而求弦長(zhǎng)的方法，將符合條件的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．