Question

（2013•湛江二模）如圖，在長方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AD=3，E為CD中點，三棱 錐A₁-AB₁E的體積是6．
（1）設P是棱BB₁的中點，證明：CP∥平面AEB₁；
（2）求AB的長；
（3）求二面角B-AB₁-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）因為P是棱BB₁的中點，可想到取AB₁的中點M，由三角形中位線知識證明四邊形PCEM是平行四邊形，由此可得
PC∥EM，然后利用線面平行的判定即可得到結論；
（2）題目給出了三棱錐A₁-AB₁E的體積是6，借助于等積法可求AB的長度；
（3）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．

解答：（1）證明：取AB₁的中點M，連結PM，ME．
則PM∥BA∥CE，PM=

1

2

AB=CE．
即四邊形PCEM是平行四邊形，所以PC∥EM．
又EM?平面AEB₁，PC?平面AEB₁．
∴CP∥平面AEB₁；
（2）解：由題意VA1-AB1E=VE-AB1A1．
點E到平面AB₁A₁的距離是AD=3，S△AB1A1=

1

2

•AB•AA1=

1

2

AB•2=AB．
所以

1

3

•3•AB=6，即AB=6；

（3）解：以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A-xyz．
則A（0，0，0），B₁（6，0，2），E（3，3，0），

AB1

=(6，0，2)，

AE

=(3，3，0)．
設平面AB₁E的法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • AB1 =0 n • AE =0

，得

6x+2z=0 3x+3y=0

，取x=1，得y=-1，z=-3．
所以

n

=(1，-1，-3)．
由平面ABB₁的一個法向量為

m

=(0，1，0)．
并設二面角B-AB₁-E的大小為α，
則cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-1

12+(-1)2+32 •1

|=

11

11

．
所以二面角B-AB₁-E的余弦值為

11

11

．

點評：本題考查了線面平行的判定，關鍵是尋求定理成立的條件，常借助于三角形的中位線處理．訓練了等積法求點到面的距離或線段的長度，考查了利用平面法向量求二面角的余弦值，是中檔題．