Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）選擇（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得這個常數的值．
（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果．
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為 +-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1-+cos2α+sin2α
-sin2α-，化簡可得結果．
解答：解：選擇（2），計算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故 這個常數為．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．
證明：（方法一）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+cos²α+sin²α+sinαcosα-sinαcosα-sin²α=sin²α+cos²α=．
（方法二）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1-+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）-sin2α-sin²α
=1-+cos2α+sin2α-sin2α-=1--+=．
點評：本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應用，考查歸納推理以及計算能力，屬于中檔題．