Question

某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）試從上述三個式子中選擇一個，求出這個常數；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為一個三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）選擇（2）求常數相對容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系結合特殊角三角函數值求得答案．
（II）根據（I）的計算結果，可得三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，進而根據兩角差的余弦公式，展開化簡后可得答案．

解答：解：（I）選擇（2）為例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

…（4分）
（II）根據（Ⅰ）的計算結果，可得三角恒等式為：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

…（6分）
證明如下：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（

3

2

cosα+

1

2

sinα）²-sinα（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，三角函數恒等式的證明，熟練掌握二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系，特殊角三角函數值及兩角差的余弦公式，是解答的關鍵．