Question

已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內角為60°，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據題設條件，先設∠B₂F₁B₁=60°，求出雙曲線的離心率．再設∠F₁B₂F₂=60°，求出雙曲線的離心率．解題的同時要進行驗根，避免出現不必要的錯誤．

解答：解：設雙曲線C的焦點坐標是F₁和F₂，虛軸兩個端點是B₁和B₂，則四邊形F₁B₁F₂B₂為菱形．
若∠B₂F₁B₁=60°，則∠B₂F₁F₂=30°．由勾股定理可知c=

3

b．∴a=

3b2-b2

=

2

b，
故雙曲線C的離心率為e=

3 b

2 b

=

6

2

．
若∠F₁B₂F₂=60°，則∠F₁B₂B₁=30°，由勾股定理可知b=

3

c，不滿足c＞b，所以不成立．
綜上所述，雙曲線C的離心率為

6

2

．
答案：

6

2

．

點評：解題時應該分∠B₂F₁B₁=60°和∠F₁B₂F₂=60°兩種情況求出雙曲線的離心率．解題時要注意a，b，c中c最大．