Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD中點，點O，F分別為BE，DE的中點，將沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如圖）.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）側棱上是否存在點P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）要證，只需證明平面BCDE即可；

（2）以O為原點，OB，OC，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，確定出點坐標，求出平面的法向量坐標，即可求解；

（3）假設滿足條件的點P存在，設，，由四邊形BCDE為菱形，且，結合（1）可知，平面，得到為平面的一個法向量，據此可求解的值.

（1）如圖1，在等腰梯形ABCD中，由，，

，為中點，所以為等邊三角形.

如圖2，因為O為BE的中點，所以，

又因為平面平面BCDE，且平面平面，

所以平面BCDE，所以.

（2）連結OC，由已知得，又O為BE的中點，

所以，由（1）知平面BCDE，

所以，，，，兩兩垂直，

以O為坐標原點，OB，OC，所在的直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系（如圖），

，

，

設平面的法向量為，

，即，令，則，

平面的一個法向量為，

設與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為；

（3）假設側棱上存在點P，使得平面，

設，

，

由四邊形BCDE為菱形，，

分別為中點，，

由（1）得平面，

是平面的一個法向量，平面，

，

所以滿足條件的點存在，且