Question

已知在正四面體ABCD中，E、F分別是線段AB和線段CD上一點，且AE=

1

4

AB，CF=

1

4

CD，則直線DE和BF所成角的余弦值是（　　）

• A、

  4

  13

• B、

  3

  13

• C、-

  4

  13

• D、-

  3

  13

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：利用向量法即可得到結論．

解答： 解：在正四面ABCD中，設向量

DA

=

a

，

DB

=

b

，

DC

=

c

，則三個向量兩兩夾角為60°，
且

a

•

b

=

1

2

，

b

•

c

=

1

2

，

c

•

a

=

1

2

，
設正四面體的棱長等于1，
則∵△ABD中，AE=

1

4

AB，CF=

1

4

CD，
∴

DE

=

3

4

DA

+

1

4

DB

=

3

4

a

+

1

4

b

，

BF

=-

b

+

3

4

c

，
|

DE

|=

( 3 4 a + 1 4 b )2

=

13

4

，|

BF

|=

13

4

，
∵

DE

•

BF

=（

3

4

a

+

1

4

b

）•(-

b

+

3

4

c

)=

3

4

a

•

b

+

9

16

a

•

c

-

1

4

b

2+

3

16

b

•

c

=-

1

4

，
∴cos＜

DE

，

BF

＞=

DE • BF

| DE |•| BF |

=

- 1 4

13 4 × 13 4

=-

4

13

，
即直線DE和BF所成角的余弦值為

4

13

，
故選：A

點評：本題主要考查異面直線所成角的求解，利用向量法是解決本題的關鍵．運算量較大．