Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，M為PD中點．若AC=2PO，求二面角P-AB-C的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以OA為x軸，過O作CB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的正切值．

解答： 解：以OA為x軸，過O作CB的平行線為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AD=AC=2，
則A（1，0，0），B（-1，2，0），P（0，0，1），
∴

PA

=(1，0，-1)，

PB

=（-1，2，-1），
設平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =x-z=0 n • PB =-x+2y-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
設二面角P-AB-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴tanθ=

2

，
∴二面角P-AB-C的正切值為

2

．

點評：本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．