Question

設函數(shù)f(x)=xm+tx的導數(shù)f′(x)=2x+1，則數(shù)列{

1

f(n)

}(n∈N*)的前n項和為（　　）

• A．

  n-1

  n

• B．

  n+1

  n

• C．

  n

  n+1

• D．

  n+2

  n+1

Answer 1

分析：對函數(shù)求導，然后結合f′（x）=2x+1，可求t，m，進而可求f（x），代入可得

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項可求數(shù)列的和

解答：解：對函數(shù)求導可得f′（x）=mx^m-1+t=2x+1
由題意可得，t=1，m=2
∴f（x）=x²+x=x（x+1）
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故選C

點評：本題主要考查了函數(shù)的求導，裂項相消求解數(shù)列的和，體現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列的結合