Question

14．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{{2^x}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{\;}&{（0≤x＜a）}\\{\;}&{（x＞a）}\end{array}$，若存在實數b，使函數g（x）=f（x）-b有兩個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （2，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個零點可得f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，則函數在定義域內不能是單調函數，結合函數圖象可求a的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個零點
∴f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，
由于y=x²在[0，a）遞增，y=2^x在[a，+∞）遞增，
要使函數f（x）在[0，+∞）不單調，
即有a²＞2^a，由g（a）=a²-2^a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．即a∈（2，4），
故選C．

點評 本題考查函數的零點問題，滲透了轉化思想，數形結合的數學思想，屬于中檔題．