Question

（本題12分）
如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）設點P的坐標為， MN的中點坐標為。
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。∴⊙必過⊙O 內定點。

解析試題分析：建立直角坐標系，⊙O的方程為，……2分
直線L的方程為。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，
∴，。將x=4代入，得。
∴MN的中點坐標為（4，0），MN=。∴以MN為直徑的圓的方程為。
同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是。……6分
（Ⅱ）設點P的坐標為，∴（），∴。
∵，將x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中點坐標為。……10分
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。∴⊙必過⊙O 內定點。……12分
考點：圓的方程的求法；直線與圓的位置關系；直線方程的點斜式。
點評：要求圓的方程，只需確定圓心和半徑即可。本題的計算量較大，在計算的過程中一定要仔細、認真，避免出現計算錯誤。