Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，點O為AD的中點，且.

（1）求證：平面PAD；

（2）若，求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）連結OP，BD，先證，則，設，可表示OB，PO，由勾股定理可得，從而根據線面垂直的判定定理證明結論；

（2）根據條件證明，可得OA，OB，OP所在的直線兩兩互相垂直，故以OA，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立坐標系，由平面PAD，故可以取與平行的向量作為平面PAD的法向量，再利用空間向量法求出平面PBC的法向量，從而利用向量的夾角公式求得結果.

（1）證明：連結OP，BD，因為底面ABCD為菱形，，

故，又O為AD的中點，故．

在中，，O為AD的中點，所以．

設，則，，

因為，

所以．（也可通過來證明），

又因為，平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD；

（2）因為，，

，平面POB，平面POB，

所以平面POB，又平面POB，所以．

由（1）得平面PAD，又平面PAD，故有，又由，

所以OA，OB，OP所在的直線兩兩互相垂直．

故以O為坐標原點，以OA，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸如圖建系．

設，則，，，．

所以，，，

由（1）知平面PAD，

故可以取與平行的向量作為平面PAD的法向量．

設平面PBC的法向量為，則，

令，所以．

設平面PBC與平面PAD所成二面角為θ，則，

則，所以平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為．