Question

【題目】如圖，在長方形中， ， ，現將沿折起，使折到的位置且在面的射影恰好在線段上.

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：(1)先證明平面 ，進而得到平面 ，從而得證；(2) 以為原點，建立空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，代入公式得到結果.

試題解析：

（Ⅰ）由題知平面，又平面，∴；

又且，∴平面；

又平面，∴；

又且，∴平面；

又平面，所以

（Ⅱ）在中， , 由射影定理知， .

以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系.

則, ， , ， ， ,

設是平面的一個法向量，

則，∴，即，

即，取，所以；

設是平面的一個法向量，

則，∴，即，

即，取，所以；

設銳二面角的大小為，

則

所以銳二面角余弦值為.